代数幾何の雑な解説

代数幾何memo! 2014/01/16 現在、俺が理解した事をまとめとくYO
注意:乱文なので、読みにくいとです。

仮定:kは代数的閉体(つまり、必ず方程式が解けるっ)


代数幾何とは何?
直感的イメージ:x^2+y^2-1=0 は 単位円になるYO
多変数の代数方程式の解の作る図形を考察する幾何学!
※多変数がキーワード!

k[x1,...,xn]∋f1,f2,...fn くどいけど、多変数の多項式

V(f1,f2,...,fn)・・・f1,f2,...,fnの根の集合

Vを代数集合という

ここで、k[x1,...,xn]のイデアルIを考える
I=(f1,f2,...,fn)とする(f1,f2,...,fnによって生成されたイデアル)

なんと、V(f1,f2,...,fn)=V(I)

そこで、多項式環のイデアルを、連立方程式のかわりに使う。・・・(★)

(★)をやって良いことを保障するのが、Hilbertの基底定理
k[x1,...,xn]の全てのイデアルJは、J=(g1,g2,...gn)となる。


ちょっと整理
・連立方程式 ⇔ 多項式f1,f2,..fnを考える ⇔ 実はV(f1,f2,...,fn)=V(I)
結論:イデアルで考えても、幾何学ができる


Hilbertの零点定理
どんなイデアルを考えても、対応する図形が存在する!


ちょっと整理
仮定:kは代数的閉体(つまり、必ず方程式が解けるっ)
①Hilbertの基底定理から、方程式のかわりにイデアルを使って良い
②Hilbertの零点定理から、いつでもイデアルは図形を表現する



まとめ
・Hilbertの基底定理の主張
V(方程式の系)=V(方程式から生成されるイデアル)

・Hilbertの零点定理の主張
V(方程式から生成されるイデアル)はいつも図形(代数多様体?)を表現する!

参考文献
岩波講座 現代数学の基礎 代数幾何1 代数多様体からスキームへ 上野 健爾









この記事へのコメント

この記事へのトラックバック