テンソル積の意味

最近,テンソル積の意味が分かったので,ここで解説します.
テンソル積は難しい概念と思われがちですが,実際はめっちゃカンタンです.
しかし,数式でムリヤリ表現すると,途端に難解な表現になります.


今回はテンソル積の意味を,分かりやすく解説しますYO

テンソル積とは多重線形写像を線形化する道具です!

多重線形写像の例として,双線形写像でテンソル積を説明します.

まず,双線型写像とは
f(x1+x2,y)=f(x1,y)+f(x2,y), f(ax,y)=a・f(x,y)
f(x,y1+y2)=f(x,y1)+f(x,y2), f(x,ay)=a・f(x,y)
のように,2変数に対して線形な関数のことです.

さて,f(x1+x2,y)=f(x1,y)+f(x2,y) をよ~く見て下さい.
純粋な心で見てください.難しい数式など不要です.


f(x1+x2,y)=f(x1,y)+f(x2,y)が線形写像に見えてきませんか?
もし,(x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y)と仮定すれば,

f(x1+x2,y)=f( (x1,y)+(x2,y) )=f(x1,y)+f(x2,y)
線形写像じゃないですか!

そうなんです!テンソル積とは,(x1+x2,y)を(x1,y)+(x2,y)に変換する写像なのです!
画像


結局,テンソル積とは(x1+x2,y)を(x1,y)と(x2,y)の線形結合に変換する写像なのです.
線形結合に変換してしまえば,(x1,y)と(x2,y)を線形写像gで,
元の双線型写像fと矛盾がないように飛ばせばいいだけです.

つまり,(x1+x2,y)をテンソルして,(x1,y)+(x2,y)に変換し,
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とすればいいんです! これを数式でまともに定義しようとすると,剰余加群やら,なんやらでてきて,難解になっちまいます.

とにかく,テンソル積は自然な概念です.

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